Se denomina conjetura matemática a una afirmación que se supone cierta, pero que carece de demostración hasta la fecha de su formulación. Exponemos a continuación una serie de conjeturas que fueron propuestas hace bastante tiempo, habiendo sido alguna de ellas resuelta recientemente mientras que otras no lo han sido hasta el momento, a pesar de que todas ellas tienen un enunciado elemental y muy fácil de comprender.
Empezaremos por el problema de los cuatro colores, que afirma que dado un mapa cualquiera del plano bastan cuatro colores para colorearlo, de manera que cada país tenga un solo color y que países vecinos lleven colores distintos. Como vemos es un problema de enunciado sencillo y apariencia inofensiva, pero que esconde numerosas sutilezas. Fue planteado en 1852 por De Morgan y no fue resuelto hasta 1976 cuando Appel y Haken, con la colaboración de Koch, publicaron la demostración completa del teorema. Esta fue muy complicada, con un gran número de páginas y más de mil horas de computador. Era el primer ejemplo de un problema largamente buscado que logró resolverse con el uso de los ordenadores.
En 1998, Hales anunció la demostración de otro problema clásico, el problema de Kepler (1611) que consistía en saber cuál es la manera más eficiente de apilar esferas en el espacio , o dicho de otro modo, cómo se debe llenar una caja con esferas idénticas para que la parte de la caja que quede vacía sea la menor posible. La conjetura afirmaba que la mejor manera de hacerlo es la que cualquier frutero seguiría al apilar naranjas en una caja. Cuando Hilbert incluyó esta conjetura en su famosa lista de problemas, no sabía el papel que los empaquetamientos de esferas iban a desempeñar en la tecnología de la información. El diseño de buenos empaquetamientos permite enviar señales por un canal con ruido sin perder calidad. Los códigos que garantizan la fidelidad del sonido de un CD utilizan versiones binarias de los empaquetamientos.
Este problema tiene bastantes similitudes con el anterior, en el sentido de que ambos tienen planteamientos sencillos, ha habido numerosos intentos por resolverlos, han dado lugar a técnicas matemáticas interesantes, y la demostración final requiere el uso del ordenador.
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